Turnstile, Puzzler, Twin Spin

Нешарнирные головоломки » Головоломки » Turnstile, Puzzler, Twin Spin

Головоломка состоит из двух пересекающихся дисков. Каждый диск имеет 12 элементов — 6 треугольных (углы) и 6 прямоугольных (ребра) чередующихся по окружности. Диски пересекаются тремя элементами — два угла и одно ребро. Элементы, находящиеся на диске, могут быть повернуты на угол кратный 60 ° и только тогда можно повернуть элементы на другом.

Turnstile выпускался на Binary Arts (ныне ThinkFun). Существует также версия под названием TwinSpin, которая выпускалась в одной из восточных стран. Turnstile выпускалась по лицензии Douglas A. Engel, который и придумал эту головоломку. Он запатентовал ее 15.11.1983 г. под номером US4415158. Впервые игра появилась под именем Engel's Enigma, но затем, по маркетинговым соображениям, ее переименовали в Puzzler с тремя разными раскрасками элементов и сложности:

Похожая головоломка производилась в России, и называется Trio. Она состоит из трех пересекающихся дисков, расположенных в вершинах треугольника. Элементы в пересекающейся области желтые, остальные три диска окрашены в красный, зеленый и синий.

Количество комбинаций.

Имеются 10 угловых (треугольных) и 11 реберных (прямоугольных) элемента. Таким образом, имеется не более 11! * 10! позиций. В связи с тем что имеется набор одинаковых по цвету элементов, то возможно меньшее количество позиций. Следующая таблица показывает эту величину для каждого варианта.

	Углы	Ребра	Позиции
Puzzler Novice	4, 6	5, 6	10!11! / (4!5!*6!²)	97 020
Puzzler Challenger	5, 5	3, 4, 4	10!11! / (3!4!²*5!²)	2 910 600
Puzzler Avenger /Turnstile	2, 2, 2, 2, 2	1, 1, 1, 1, 1, 6	10!11! / (2!⁵6!)	6 286 896 000

Однако, Puzzler Avenger /Turnstile на самом деле имеет в 5! = 120 раз меньше позиций в связи с тем, что цвета можно менять местами. Учитывая это, получается 10!*11! / (2!⁵*6!*5!) = 52 390 800 позиции.

Jaap Scherphuis сделал компьютерный анализ головоломки, чтобы найти алгоритм Бога. Результаты в таблицах ниже. Есть два метода подсчета шагов - поворот на угол 60° и поворот на произвольный угол.

Puzzler Novice:

		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	Итого
	Поворот на произвольный угол
П о в о р о т н а 60°	0	1														1
	1		2													2
	2		2	4												6
	3		1	8	8											17
	4			8	24	14										46
	5			4	34	50	24									112
	6			1	25	98	116	32								272
	7				7	121	294	200	34							656
	8					85	424	687	296	18						1 510
	9					35	397	1 327	1 265	262	16					3 302
	10					6	225	1 539	3 048	1 546	225	11				6 600
	11						68	1 115	4 381	5 051	1 391	98	2			1 210
	12						7	432	3 681	9 064	5 193	557	12			18 946
	13							56	1 510	8 701	10 398	2 260	72			22 997
	14							3	194	3 393	9 719	4 864	372			18 545
	15								10	299	3 101	4 532	947	16		8 905
	16									7	192	1 376	921	84	6	2 586
	17										1	62	209	97	12	381
	18												11	16	3	30
Итого		1	5	25	98	409	1 555	5 391	14 419	28 341	30 236	13 760	2 546	213	21	97 020

Три самые трудные позиции показано ниже:

Puzzler Challenger:

		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	Итого
	Поворот на произвольный угол
П о в о р о т н а 60°	0	1														1
	1		4													4
	2		4	8												12
	3		2	16	12											30
	4			16	36	24										76
	5			8	56	96	48									208
	6			2	52	200	232	82								568
	7				32	252	612	516	148							1 560
	8				12	228	980	1638	1132	232						4 222
	9				2	140	1130	3334	4350	2044	200					11 200
	10					56	904	4922	10475	9882	2688	78				29 005
	11					12	500	5198	18460	29879	16130	1628	16			71 823
	12					2	220	3658	22980	62220	61987	13273	368	4		164 712
	13						54	1530	19084	88973	155887	65166	4096	48		334 838
	14							309	9514	80520	250552	204084	25234	548		570 761
	15							24	2298	39498	232216	376516	95187	2918	8	748 665
	16								176	8176	99035	340627	189255	10502	14	647 785
	17									448	13915	107117	144389	18108	30	284 007
	18									4	372	6752	25210	8100	28	40 466
	19											24	338	293	2	657
Итого		1	10	50	202	1 010	4 680	21 211	88 617	321 876	832 982	1 115 265	484 093	40 521	82	2 910 600

Две самые трудные позиции показано ниже:

Решение:

Вращение по часовой стрелке на 60 градусов левого диска обозначим L. Вращение на 120, 180, 240, 300 градусов обозначим L2, L3, L4 и L5 соответственно. Следует отметить, что L5 может также рассматриваться как поворот против часовой стрелки на 60 градусов, и, следовательно, может обозначаться как L'. Повороты правого диска обозначаются таким же образом, но с использованием буква R.

Решить любой вариант головоломки довольно легко с использованием простого применения последовательности LR'L'R. Эта последовательность меняет две пары углов, а также делает 3-цикл ребер. Если вы выполняете эту формулу два раза, то углы остаются на месте, но происходит 3-цикл ребер. Если вы выполняете эту последовательность три раза, то края остаются на местах, но происходит перестановка углов. Но если вы поставите на места углы прежде чем края, то вам не прийдется делать это. Ниже дается методика решение стандартных Turnstile и Avenger головоломок, которая использует несколько формул вместо применения этой последовательности несколько раз.

Этап 1: сборка угловых элементов попарно.

В первую очередь поставте два угла одного цвета рядом друг с другом. Это очень просто. Если нет готовых пар, то для совмещения элементов почти всегда достаточно повернуть один из дисков.
Поверните пару в область перекрытия двух дисков, а затем сделайте L2, чтобы разместить их в левой нижней части левого диска.
Найти угол соответствующего цвета в верхнем левом углу. Если он не расположен на верхней части левого диска (т.е. пока не паре), то его необходимо туда поставить. Поверните правый диск, чтобы привести этот элемент к вершине и сделайте LR'L'. Теперь левый диск должен иметь две угловые пары одного цвета.
Если правый диск имеет одну или несколько пар, необходимо повернуть его и перевести пару к области перекрытия двух дисков, затем повернуть левый диск таким образом, чтобы его верхние и нижние углы имеют одинаковый цвет.
Остальные 4 возможных варианта расположения:

Если имеются две пары одного цвета на правом диске, то необходимо сделать R' L R L R.
Если имеется одна пара на правом диске, то необходимо сделать R3 L4 R3 L2 R.
Если две пары углов лежат на противоположных сторонах диска, то сделать L2 R2 L2 R2 L.
В противном случае сделать R2 L2 R3 L' R L.

Этап 2: сборка реберных элементов.

Найти цветное ребро, который раположено на месте серого ребра (т.е. оно не лежит между соответствующими по цвету парой углов).
Найти пару углов того же цвета, что и ребро.
Следующие шаги должны переставить ребро между угловыми элементами.

Если ребро и его углы лежат на том же диске, то поверните его, чтобы переставить углы в область перекрытия двух дисков. Если ребро не примыкает к углам, то поверните другой диск на 120 градусов и перейдите к шагу 2.
Если ребро и его углы лежат на разных дисках и не в области перекрытия двух дисков, то поставте ребро в положении рядом с перекрытием, а затем поверните другой диск, чтобы разместить углы в области перекрытия.

Ребро теперь можно поставить между углами с помощью одной из следующих четырех похожих последовательностей выполненных дважды. Какая необходима зависит от положения краевой части:

Ребро в левом верхнем углу: R' L R L'
Ребро в правом верхнем углу: L R' L' R
Ребро в левом нижнем углу: R L' R' L
Ребро в правом нижнем углу: L' R L R'

Повторите этап 2 для всех ребер. Если все серые ребра на своих местах, но цветные - нет, то вы можете использовать процедуру, описанную выше, чтобы вставить серое ребро на место неправильного цветного ребра, затем выполнить этап 2 для цветного ребра.

Этап 3: расположение собранных элементов (пара углов и ребро) на своих местах.

Эта этап в основном использует повороты дисков только на 120 градусов, так что собранные цветные элементы не будут разбиты. Вначале поставте правильный ромб в левом нижнем положении - это сделать несложно.
Если ромб верхней левой позиции не на месте, то поставте его в правом верхнем углу и сделайте L2 R4 L4.
Поверните правый диск так, чтобы правильный ромб попал в область пересечения дисков.
Если последние два цвета расположены неправильно, то мы должны разбить их и восстановить их, выполняя последовательность L R L' R L R4 L', поменять углы, а затем решить оставшиеся края, как и на этапе 2 с помощью R2 L R' L' R L R' L' R.